Norrie nasceu em Joanesburgo, na África do Sul, mas passou grande parte da infância e da adolescência em Auckland, na Nova Zelândia. Aos 16 anos, o atleta se mudou para Londres, no Reino Unido, onde seus pais nasceram. Dali, deu os seus primeiros passos no tênis profissional.
Ainda adolescente, representou a Nova Zelândia como atleta júnior, mas se naturalizou britânico quando se mudou para a Europa. Na época, já era tido como uma grande promessa do tênis mundial e prometia conquistar torneios importantes na categoria simples.
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